|
|
Với mọi số $x \ge 1$ ta có
$(\sqrt{x-1}-1 )^2 \ge 0\Leftrightarrow x-2\sqrt{x-1} \ge 0\Leftrightarrow x \ge 2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{\sqrt{x-1}}{x}$
Khi cho $x$ bằng $a, b$ ta có
$ \begin{cases}\frac{1}{2} \ge \frac{\sqrt{a-1}}{a} \\ \frac{1}{2} \ge \frac{\sqrt{b-1}}{b} \end{cases}\Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a} + \frac{\sqrt{b-1}}{b} \le 1\Rightarrow $ đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=2.$
|