|
|
Ta có
$\frac{\tan ^{2}\frac{x}{2}-1}{\tan ^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}-\cos ^{2}\frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}}=-\cos x$.
Như vậy PT
$\Leftrightarrow (\frac{x}{\pi})^{2}=\sin \frac{x}{2}$
Xét hàm số $f(x) = (\frac{x}{\pi})^{2}-\sin \frac{x}{2}$
có $f''(x)=\frac{2}{\pi}+\frac{1}{4}\cos \frac{x}{2} \ge \frac{2}{\pi}-\frac{1}{4}>0$
Do đó theo định lý Roll thì PT này có tối đa hai nghiệm. Mặt khác dễ thấy $f(0)=f(\pi)=0$.
Vậy PT có hai nghiệm $x=0, x=\pi.$
|