|
|
Trước hết ta có công thức tính đường phân giác
$l_a=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$, trong đó $p$ là nửa chu vi.
Bạn có thể xem tại đây.
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114318/mot-bai-lop-10
Áp dụng BĐT Cô si ta có
\begin{cases}\frac{2\sqrt{bc}}{b+c} \le 1 \\\sqrt{p(p-a)}=\frac{1}{\sqrt 3}\sqrt{p.3(p-a)} \le \frac{1}{2\sqrt 3}(4p-3a)\end{cases}
suy ra $l_a \le \frac{1}{2\sqrt 3}(4p-3a)$.
Tương tự thì ta có
$l_a +l_b+l_c \le \frac{1}{2\sqrt 3}(12p-3a-3b-3c)=\frac{\sqrt 3}{2}.2p=\frac{\sqrt 3}{2}(a+b+c)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$
Và suy ra câu trả lời cho bài toán.
|