Giúp e bài này nữa mọi người ơi !!!!!@@

Question

cho

$\triangle ABC$ thỏa mãn:

$\begin{cases}\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2 \\ a=2b\cos C \end{cases}$
Chứng minh rằng Tam giác ABC đều

score 4 · Answer 1

Ta có:

$\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2$

$\Rightarrow a^3+c^3-b^3=(a+c)b^2-b^3$

$\Rightarrow a^3+c^3=(a+c)b^2$

$\Rightarrow a^2-ac+c^2=b^2$

$\Rightarrow a^2-ac+c^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$\Rightarrow \cos B=\frac{1}{2} \Rightarrow B=60^\circ$
Lại có:

$a = 2b\cos C$

$\Rightarrow a = 2b.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

$\Rightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}$

$\Rightarrow {b^2} = {c^2} \Rightarrow b = c$ .
Suy ra:

$\Delta ABC$ đều.

score 4 · Answer 2

$(1) \Leftrightarrow a^3-a^2(b+c)=a^3-(b+c)(b^2+c^2-bc)$

$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc (3)$
Do định lý hàm số cô sin :

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A (4)$
Từ

$(3), (4)$ ta được:

$b^2 + c^2 -bc = b^2+c^2-2bc \cos A$

$\Leftrightarrow 2bc \cos A= bc \Leftrightarrow \cos A = \frac{ 1}{ 2}.$ Do A là góc trong tam giác nên

$A=60^0$

$(2) \Leftrightarrow 2R \sin A=4R \sin B \cos C$

$\Leftrightarrow \sin (B+C) = 2 \sin B \cos C$

$\Leftrightarrow \sin B \cos C+\cos B \sin C=2 \sin B \cos C$

$\Leftrightarrow \sin B \cos C-\cos B \sin C=0$

$\Leftrightarrow \sin (B-C)=0 \Leftrightarrow B=C$
Vậy

$\Delta ABC$ thỏa mãn

$(1)$ và

$(2)$ thì tam giác cân và có một góc

$60^0$ nên

$\Delta ABC$ đều.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

2 Đáp án