|
|
Bài toán tổng quát
Tìm
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}$ $(a_1, a_2,\cdots, a_n \neq 0)$
Trước hết đưa ra đẳng thức sau
$1- A_1A_2\cdots A_n=(1-A_1)+A_1(1-A_2)+A_1A_2(1-A_3)+\cdots +A_1A_2\cdots A_{n-1}(1-A_n)$
Dễ dàng để kiểm tra đẳng thức này luôn đúng.
Bây giờ đặt $A_i =\cos a_i x, i=1,2,\cdots,n$ và chú ý rằng
$\begin{cases}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-A_1}{x^{2}} =\frac{1-\cos a_1 x}{x^{2}} =\frac{a_1^2}{2}\\ \lim_{x\rightarrow 0}A_i=1 , i=1,2,\cdots,n\end{cases}$
Vậy
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}=\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{2}$
|