|
|
Không mất tính tổng quát giả sử: $a=\max\{a,b,c\}$
Xét hàm:
$f(a)=2a^3-ba^2-c^2a+2(b^3+c^3)-b^2c$
$f'(a)=6a^2-2ab-c^2\ge0$
$\Rightarrow f(a)\le f(1)=2-b-c^2+2b^3+2c^3-2b^2c$
Xét hàm:
$g(b)=2b^3-cb^2-b+2c^3-c+2$
$g'(b)=6b^2-2bc-1$
Phương trình $g'(b)=0$ có 2 nghiệm: $b_1<0< b_2< 1$.
Lập bảng biến thiên, suy ra:
$g(b)\le \max\{g(0),g(1)\}=\max\{2c^3-c+2,2c^3-2c+3\}=2c^3-2c+3$ (do $0\le c\le 1$)
Ta có: $2c^3-2c+3=2c(c^2-1)+3\le 3$.
Suy ra: $2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)\le3$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(1,1,1)$
|