|
|
Không mất tính tổng quát, giả sử: $0\le c\le b\le a\le2$.
suy ra $a + b \le 3$.
Trước hết nêu ra một đẳng thức sau, có tên là khai triển Abel cho $3$ số.
$a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2=a_0(b_0-b_1)+(a_0+a_1)(b_1-b_2)+(a_0+a_1+a_2)b_2$
để kiểm tra bạn chỉ cần khai triển vế phải.
BĐT đã cho tương đương với
$VT=(a-2)(a+2)+(b-1)(b+1)+c.c \le 0$
Theo khai triển Abel trên nếu đặt
$a_0=a-2, b_0=a+2, a_1=b-2,b_1=b+1,a_2=c, b_2=c$ thì ta có
$VT=(\underbrace{a-2}_{\le 0})(\underbrace{a-b+1}_{> 0})+(\underbrace{a+b-3}_{\le 0})(\underbrace{b-c+1}_{> 0})+(\underbrace{a+b+c-3}_{= 0})c \le 0$, đpcm.
Vậy: $a^2+b^2+c^2\le5$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị của nó.
|