|
|
Không mất tính tổng quát, giả sử: 0≤c≤b≤a≤2.
suy ra a+b≤3.
Trước hết nêu ra một đẳng thức sau, có tên là khai triển Abel cho 3 số.
a0b0+a1b1+a2b2=a0(b0−b1)+(a0+a1)(b1−b2)+(a0+a1+a2)b2
để kiểm tra bạn chỉ cần khai triển vế phải.
BĐT đã cho tương đương với
VT=(a−2)(a+2)+(b−1)(b+1)+c.c≤0
Theo khai triển Abel trên nếu đặt
a0=a−2,b0=a+2,a1=b−2,b1=b+1,a2=c,b2=c thì ta có
VT=(a−2⏟≤0)(a−b+1⏟>0)+(a+b−3⏟≤0)(b−c+1⏟>0)+(a+b+c−3⏟=0)c≤0, đpcm.
Vậy: a2+b2+c2≤5
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị của nó.
|