Giải giùm mình bài bất đẳng thức này!!!

Question

Cho x,y,z >0,

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$
CMR:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

score 2 · Answer 1

Trước hết bạn có thể tự chứng minh BĐT quen thuộc sau

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}, \forall a, b >0$ .
Áp dụng ta có

$\frac{16}{2x+y+z}=4.\frac{4}{2x+(y+z)} \le \frac{4}{2x}+\frac{4}{y+z} \le \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Tương tự

$\frac{16}{x+2y+z}\le \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}$

$\frac{16}{x+y+2z}\le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}$
cộng theo từng vế ta có

$\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z} \le 4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )=16$
Vậy

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$ , đpcm.
Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}$ .

ukm, do mjh đang tạm thời ôn về bất đẳng thức cosi, thỳ thấy bài này, nên muốn tìm sự giúp đỡ về cách giải này!!! – thanhnhan97gl 15-11-12 08:56 PM

Đấy cũng là một ý hay nhưng mình chưa nghĩ ra :) – Trần Nhật Tân 15-11-12 12:45 AM

BẠn TRần Nhật Tân cho mình hỏi, có thể giải bài này bằng cách dùng bdt cô si không – thanhnhan97gl 14-11-12 10:37 PM

đúng, lời giải dễ hiẻu – dh.sshnvn 14-11-12 10:35 PM

Có j mak không hju, áp ụng bdt phụ thôi mak – thanhnhan97gl 14-11-12 10:30 PM

chưa hiểu lắm – gaara.sshn 14-11-12 10:11 PM

Cảm ơn Bạn Trần Nhật Tân – thanhnhan97gl 14-11-12 09:43 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 14-11-12 09:41 PM

Hỏi	14-11-12 09:30 PM
Lượt xem	1289
Hoạt động	14-11-12 09:41 PM

Giải giùm mình bài bất đẳng thức này!!!

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Giải giùm mình bài bất đẳng thức này!!!

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan