|
|
Trước hết bạn có thể tự chứng minh BĐT quen thuộc sau
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}, \forall a, b >0$.
Áp dụng ta có
$\frac{16}{2x+y+z}=4.\frac{4}{2x+(y+z)} \le \frac{4}{2x}+\frac{4}{y+z} \le \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Tương tự
$\frac{16}{x+2y+z}\le \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}$
$\frac{16}{x+y+2z}\le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}$
cộng theo từng vế ta có
$\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z} \le 4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )=16$
Vậy
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$ , đpcm.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}$.
|