chứng minh với a, b, c khong âm

Question

chứng minh với a,b, c không âm $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

score 4 · Answer 1

Ta có
$ \sum_{cyc} \frac{a^2}{b} - \sum_{sym} a = \sum_{cyc}( \frac{a^2}{b} + b-2a ) = \sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{b} $
Ta cần chứng minh
$\sum_{cyc} \frac{(a-b)^2}{b} - \frac{4(a-b)^2}{a+b+c} \ge 0 $
$ \Leftrightarrow S_c(a-b)^2+S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2 \ge 0 $
Trong đó
$
\begin{cases}
S_a = \frac{1}{c} \\
S_b = \frac{1}{a} \\
S_c = \frac{1}{b} - \frac{4}{a+b+c}
\end{cases}
$
Bằng phương pháp SOS ta cần kiểm tra
$
\begin{cases}
S_b \ge 0 \\
S_b +S_c \ge 0 \\
S_b + S_a \ge 0
\end{cases}
$
Và ta chỉ cần kiểm tra
$ S_b +S_c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b} - \frac{4}{a+b+c} \ge \frac{4}{a+b} - \frac{4}{a+b+c} \ge 0 $.
Vậy ta có đpcm.

pro quá đi – cuungonghinh 16-11-12 10:24 PM

bạn làm hay nhỉ – banhquykeomut 14-11-12 08:28 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 13-11-12 07:42 PM

Hỏi	13-11-12 07:05 PM
Lượt xem	985
Hoạt động	13-11-12 07:42 PM

chứng minh với a, b, c khong âm

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

chứng minh với a, b, c khong âm

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan