|
|
Dễ thấy rằng với mọi $n$ thì $x_n \in [-1,1].$
Tiếp theo ta chứng minh $\cos x$ là hàm co, dễ thấy vì theo định lý Lagrange
$|\cos x_1 - \cos x_2|=|\sin c||x_1-x_2| \le |x_1-x_2|$ với $c \in (x_1,x_2).$
Như vậy với bất kỳ điểm xuất phát $x_0$ nào thì quá trình lặp đều hội tụ tới điểm $\xi$ duy nhất sao cho $\xi=\cos \xi$.
Việc chứng minh PT $a=\cos a$ có nghiệm duy nhất là một điều không phức tạp.
|