Tìm điều kiện thỏa phương trình có nghiệm.

Question

Tìm

$m$ để phương trình:

$m\left(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4}\right)-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4}$ có nghiệm.

score 3 · Answer 1

Nhận xét rằng

$x=2$ không là nghiệm của PT vì thế ta xét điều kiện của PT với

$x>2.$
PT đã cho

$\Leftrightarrow m=\frac{\sqrt{x+2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}{\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}=f(x)$
Trong đó

$f'(x)=-\frac{2\sqrt[4]{(x^2-4)^3}+2x(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})+4(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2})}{\sqrt[]{x^2-4}\sqrt[4]{(x^2-4)^3}(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})^2}$
Hiển nhiên thấy

$f'(x)<0$ vì chẳng hạn

$2x\sqrt{x+2}>4\sqrt{x+2}$ .
Lập bảng biến thiên của hàm

$f$ với

$x>2$ và chú ý rằng

$\lim_{x \to 2^+}f(x)=+\infty, \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{1+2/x}+2\sqrt[4]{1-4/x^2}}{\sqrt{1-2/x}+2\sqrt[4]{1-4/x^2}}=1$
Vậy

$\boxed{m>1}$ .

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

score 4 · Answer 2

Điều kiện:

$x>2$ .
Ta có:

$m=\frac{\sqrt{x+2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}{\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}$

$=\frac{\displaystyle \sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}{\displaystyle 1+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}$
Đặt:

$t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}$ , ta có:

$m=\frac{t^2+2t}{1+2t}$
Xét

$f(x)=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}},x>2$
Ta có:

$f'(x)=-\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^5}\sqrt[4]{(x+2)^3}}<0,\forall x>2$
Suy ra:

$f(x)$ nghịch biến trên

$(2,+\infty)\Rightarrow t=f(x)>1$
Xét

$g(t)=\frac{t^2+2t}{1+2t},t>1$
Ta có:

$g'(t)=\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}>0,\forall t>1.$
Suy ra:

$m=g(t)>g(1)=1$
Vậy với

$m>1$ thì phương trình có nghiệm.

Hỏi	11-11-12 01:10 PM
Lượt xem	1885
Hoạt động	11-11-12 01:50 PM

Tìm điều kiện thỏa phương trình có nghiệm.

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm điều kiện thỏa phương trình có nghiệm.

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan