|
|
Điều kiện: x>2.
Ta có:
m=\frac{\sqrt{x+2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}{\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}
=\frac{\displaystyle \sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}{\displaystyle 1+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}
Đặt: t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}, ta có: m=\frac{t^2+2t}{1+2t}
Xét f(x)=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}},x>2
Ta có: f'(x)=-\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^5}\sqrt[4]{(x+2)^3}}<0,\forall x>2
Suy ra: f(x) nghịch biến trên (2,+\infty)\Rightarrow t=f(x)>1
Xét g(t)=\frac{t^2+2t}{1+2t},t>1
Ta có: g'(t)=\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}>0,\forall t>1.
Suy ra: m=g(t)>g(1)=1
Vậy với m>1 thì phương trình có nghiệm.
|