|
|
Điều kiện: $x>2$.
Ta có:
$m=\frac{\sqrt{x+2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}{\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4}}$
$=\frac{\displaystyle \sqrt{\frac{x+2}{x-2}}+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}{\displaystyle 1+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}}$
Đặt: $t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}$, ta có: $m=\frac{t^2+2t}{1+2t}$
Xét $f(x)=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}},x>2$
Ta có: $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^5}\sqrt[4]{(x+2)^3}}<0,\forall x>2$
Suy ra: $f(x)$ nghịch biến trên $(2,+\infty)\Rightarrow t=f(x)>1$
Xét $g(t)=\frac{t^2+2t}{1+2t},t>1$
Ta có: $g'(t)=\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}>0,\forall t>1.$
Suy ra: $m=g(t)>g(1)=1$
Vậy với $m>1$ thì phương trình có nghiệm.
|