|
|
Phương trình tương đương với:
$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=y^5-1$
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$
TH 1: $p|x-1$ thì $x^{2010}+...+x+1 \equiv 2011 \pmod{p}$
Suy ra: $p=2011$
TH2: $p\nmid x-1$ thì $p|x^{2011}-1$.
Vì $2011\in\mathscr{P}$ nên ord$_px=2011$ mà ta có: $p|x^{p-1}-1\Rightarrow 2011|p-1$
hay $p \equiv 1 \pmod{2011}$
Suy ra tất cả các ước nguyên tố của $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$ đều có dạng $2011$ hoặc $2011k+1$
M $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$
Suy ra tất cả các ước nguyên tố của $y-1$ và $y^4+y^3+y^2+y+1$ đều có dạng $2011$ hoặc $2011k+1$
Nếu
$2011|y-1$ thì $y^4+y^3+...+y+1 \equiv 5 \pmod{2011}$, suy ra
$y^4+y^3+...+y+1$ không thể có tất cả các ước nguyên tố đều có
dạng $2011$ hoặc $2011k+1$.
Nếu $2011\nmid y-1$ thì tất cả các ước nguyên tố của $y-1$ đều có dạng $2011k+1$
Suy
ra $y-1 \equiv 1 \pmod{2011} \Rightarrow y \equiv 2
\pmod{11}\Rightarrow y^4+y^3+...+y+1 \equiv 31 \pmod{2011}$, suy ra
$y^4+y^3+...+y+1$ không thể có tất cả các ước nguyên tố đều có
dạng $2011$ hoặc $2011k+1$.
Vậy phương trình vô nghiệm.
|