Một bài BĐT

Question

Cho

$a,b,c>0$ thỏa mãn:

$ab+bc+ca=\sqrt2$ .
Chúng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\le\frac{1}{\sqrt{abc}}$

score 5 · Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

$\left(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\right)^2\le(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)$
Ta chỉ cần chứng minh:

$P=abc(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\le1$
Ta có:

$\frac{a^2bc(a+b+c)}{a+b}=a^2bc+\frac{a^2bc^2}{a+b}$

$\le a^2bc+\frac{a^2bc^2}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$

$=a^2bc+\frac{abc^2}{4}+\frac{a^2c^2}{4}$
Từ đó suy ra:

$P=abc(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)$

$\le a^2bc+ab^2c+abc^2+\frac{a^2bc}{4}+\frac{ab^2c}{4}+\frac{abc^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{a^2c^2}{4}$

$\le a^2bc+ab^2c+abc^2+\frac{a^2b^2}{2}+\frac{b^2c^2}{2}+\frac{a^2c^2}{2}$

$=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2}=1$ , đpcm.

Hỏi	09-11-12 09:16 AM
Lượt xem	1554
Hoạt động	11-11-12 02:09 PM

Một bài BĐT

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Một bài BĐT

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan