Ta sẽ sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển về dạng tam thức bậc hai như sau:
f(a)=a2+2a(bc−b−c)+(b−c)2+1≥0
* Nếu bc≥b+c thì ta có ngay điều phải chứng minh.
* Xét trường hợp ngược lại bc≤b+c, và điều này tương đương với (b−1)(c−1)≤1. Khi đó ta tính được biệt thức Δ′ của f(a) là:
Δ′=(bc−b−c)2−(b−c)2−1=bc(b−2)(c−2)−1
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có đúng một trong hai số b,c lớn hơn 2, số còn lại không lớn hơn 2. Trong trường hợp này ta có (b−2)(c−2)≤0 từ đó suy ra Δ′≤0.
Trường hợp 2: Cả hai số b,c đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
Δ′=bc(2−b)(2−c)−1≤[b+c+(2−b)+(2−c)4]4−1=0.
Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có Δ′≤0. Tức f(a)≥0 và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.