chứng minh

Question

Cho các số không âm $a, b, c$ thoả mãn : $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :

$a.\sqrt{b^3+1}+b.\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5 $

score 3 · Answer 1

Bổ đề: $ab^2+bc^2+ca^2+abc\le4$
Thật vậy, giả sử $c$ là số nằm giữa trong $3$ số $a,b,c$
Ta có: $ab^2+bc^2\le abc+cb^2\Leftrightarrow b(ab-c^2-ac-cb)\le0\Leftrightarrow b(b-c)(a-c)\le0$, đúng.
Suy ra:
$ab^2+bc^2+ca^2+abc\le 2abc+ca^2+cb^2$
                                           $=c(a+b)^2$
                                           $\le\frac{1}{2}(\frac{2c+(a+b)+(a+b)}{3})^3=4$

Quay lại bài toán, ta có:
$\sqrt{b^3+1}=\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \frac{b^{2}+2}{2} $
Suy ra:
$ a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq \frac{ab^2+bc^2+ca^2+2(a+b+c)}{2}$
                                                                    $\leq \frac{ab^2+bc^2+ca^2+abc+6}{2}\le5$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(2,0,1)$

Hỏi	06-11-12 04:12 PM
Lượt xem	993
Hoạt động	07-11-12 10:41 PM

chứng minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

chứng minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan