|
|
Tổng cần tính tương đương với
$S=\sum_{k=0}^n\frac{C^k_n}{(k+1)(k+2)}$
trước hết bạn dùng định nghĩa của tổ hợp để chứng minh đẳng thức sau
$aC_b^a=bC_{b-1}^{a-1}$
Áp dụng đẳng thức trên ta có
$(k+1)(k+2)C_{n+2}^{k+2}=(k+1)(n+2)C_{n+1}^{k+1}=(n+2)(k+1)C_{n+1}^{k+1}=(n+2)(n+1)C_{n}^{k}$
Suy ra $\frac{C^k_n}{(k+1)(k+2)}=\frac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+2)(n+1)}$
Do đó
$S=\sum_{k=0}^n\frac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( \sum_{k=0}^nC_{n+2}^{k+2} \right )=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( \sum_{i=0}^{n+2}C_{n+2}^{i}-C_{n+2}^{1}-C_{n+2}^{0} \right )$
$=\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left ( 2^{n+2}-n-3 \right )$
|