|
|
Theo định nghĩa thì cực trị là nghiệm của đạo hàm nên ta có $x_1, x_2$ là các nghiệm của PT
$y'=0\Leftrightarrow x^2-2ax-3a=0$.
Tức là khi thay $x_1, x_2$ vào PT trên thì ta có
$\begin{cases}x_1^2-2ax_1-3a=0 \\x_2^2-2ax_2-3a=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1^2=2ax_1+3a \\x_2^2=2ax_2+3a\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1^2+2ax_2+9a=2a(x_1+x_2)+12a \\x_2^2+2ax_1+9a=2a(x_1+x_2)+12a\end{cases}$
Mặt khác theo định lý Vi-ét thì $x_1+x_2=2a$.
Tóm lại ta có
$x_1^2+2ax_2+9a=x_2^2+2ax_1+9a=4a^2+12a$.
Kết hợp với giả thiết ta có
$\frac{4a^2+12a}{a^2}+\frac{a^2}{4a^2+12a}=2$ với $a \ne 0.$
$\Leftrightarrow \frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2$
$\Leftrightarrow (4a+12)^2+a^2-2(4a+12)a=0$
$\Leftrightarrow (4a+12-a)^2=0$
$\Leftrightarrow 3a+12=0$
$\Leftrightarrow \boxed{a=-4} .$
|