|
|
Từ PT thứ hai ta có
y(x+y)2=π2⇒{√y(x+y)=πy>0⇒x=π√y−y
Thay vào PT thứ nhất ta được
f(y)=y4+m2−y(π√y−y)3=0
Từ PT thứ nhất cũng thấy x>0⇒y3/2<π
Ta có f′(y)=8y3−152πy3/2+3π2+π32y3/2
Ta thấy 8y3−152πy3/2+3π2 là PT bậc hai theo y3/2 và có Δ=2254π2−4.24π2<0
do đó 8y3−152πy3/2+3π2>0⇒f′(y)>0⇒f là hàm đồng biến trên (0,3√π2)
Mặt khác, f(0)=−∞,f(3√π2)=m2+3√π8>0
do đó tồn tại nghiệm của PT f(y)=0, và nghiệm này là duy nhất theo tính đồng biến của f.
Vậy bài toán được chứng minh.
|