|
|
Hệ phương trình $\begin{cases} bx-y=ac^2 \\ (b-6)x+2by=c+1 \end{cases} (*)$
Dễ thấy $(*)$ luôn có nghiệm khi $2b^2+b-6=(b+2)(2b-3)\neq 0$. Do đó $(*)$ có nghiệm với mọi $b\in R$ tương đương với $(*)$ có nghiệm khi $b=-2$ và $b=\frac{3}{2}$.
+) Nếu $b=-2$ thì $(*)$ trở thành $\begin{cases} -2x-y=ac^2 \\ -8x-4y=c+1 \end{cases}$.
Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại $c$ sao cho $4ac^2-c-1=0$.
Dễ thấy $a=0$ thỏa mãn. Nếu $a\neq 0$ thì $4ac^2-c-1=0$ có nghiệm $c$ khi và chỉ khi $\Delta \geq 0$ hay $a\geq -\frac{1}{16}$.
+) Nếu $b=\frac{3}{2}$ thì $(*)$ trở thành $\begin{cases} \frac{3}{2}x-y=ac^2 \\ -\frac{9}{2}x+3y=c+1 \end{cases}$.
Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại $c$ sao cho $ac^2+3c+3=0$.
Dễ thấy $a=0$ thỏa mãn. Nếu $a\neq 0$ thì $ac^2+3c+1=0$ có nghiệm $c$ khi và chỉ khi $\Delta \geq 0$ hay $a\leq \frac{3}{4}$.
Vậy với $a\in \left[ -\frac{1}{16},\frac{3}{4}\right]$ thì luôn tồn tại $c$ để hệ $(*)$ có nghiệm với mọi $b\in R$.
Cụ thể, với $b=-2$ thì tồn tại $c$ là nghiệm của $4ac^2-c-1=0$, với $b=\frac{3}{2}$ thì tồn tại $c$ là nghiệm của $ac^2+3c+3=0$, với $b\neq -2,b\neq \frac{3}{2}$ thì tồn tại $c=0$ để hệ $(*)$ có nghiệm.
|