|
|
a) Trước hết ta chứng minh dãy sau hội tụ:
u_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln n,\forall n\in N.
Thật vậy, xét hàm số f(x)=x-\ln (1+x) với x>0.
Ta có f'(x)=1-\frac{1}{1+x}>0 nên f(x) đồng biến.
Ta có \lim_{x\to 0}{f(x)}=0 nên f(x)>0 hay x>\ln (1+x),\forall x>0. Khi dó:
u_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln n>\ln 2+\ln \frac{3}{2}+...+\ln \frac{n+1}{n} -\ln n=\ln \frac{n+1}{n}>0,\forall n
Ta sẽ chứng minh dãy (u_n) là dãy giảm.
Xét hiệu u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n} .
Xét hàm số g(x)=\frac{x}{1+x}-\ln (1+x) với x\geq 0.
Có g'(x)=-\frac{x}{(x+1)^2}\leq 0,\forall x\geq 0 nên g(x) nghịch biến.
Vì g(0)=0 nên g(x)\leq 0,\forall x\geq 0.
Thay x=\frac{1}{n} ta được u_{n+1}<u_n,\forall n hay dãy (u_n) giảm.
Vậy tồn tại \lim u_n=\alpha.
Trở lại bài toán, ta có:
\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=u_{2n}-u_n+\ln 2.
Vì \lim u_{2n}=\lim u_n=\alpha nên \lim \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)=\ln 2.
|