|
|
a) Trước hết ta chứng minh dãy sau hội tụ:
$u_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln n,\forall n\in N$.
Thật vậy, xét hàm số $f(x)=x-\ln (1+x)$ với $x>0$.
Ta có $f'(x)=1-\frac{1}{1+x}>0$ nên $f(x)$ đồng biến.
Ta có $\lim_{x\to 0}{f(x)}=0$ nên $f(x)>0$ hay $x>\ln (1+x),\forall x>0.$ Khi dó:
$u_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln n>\ln 2+\ln \frac{3}{2}+...+\ln \frac{n+1}{n} -\ln n=\ln \frac{n+1}{n}>0,\forall n $
Ta sẽ chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy giảm.
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n} $.
Xét hàm số $g(x)=\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)$ với $x\geq 0$.
Có $g'(x)=-\frac{x}{(x+1)^2}\leq 0,\forall x\geq 0$ nên $g(x)$ nghịch biến.
Vì $g(0)=0$ nên $g(x)\leq 0,\forall x\geq 0$.
Thay $x=\frac{1}{n}$ ta được $u_{n+1}<u_n,\forall n$ hay dãy $(u_n)$ giảm.
Vậy tồn tại $\lim u_n=\alpha$.
Trở lại bài toán, ta có:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=u_{2n}-u_n+\ln 2$.
Vì $\lim u_{2n}=\lim u_n=\alpha$ nên $\lim \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)=\ln 2$.
|