|
|
a) Trước hết ta chứng minh dãy sau hội tụ:
un=1+12+...+1n−lnn,∀n∈N.
Thật vậy, xét hàm số f(x)=x−ln(1+x) với x>0.
Ta có f′(x)=1−11+x>0 nên f(x) đồng biến.
Ta có limx→0f(x)=0 nên f(x)>0 hay x>ln(1+x),∀x>0. Khi dó:
un=1+12+...+1n−lnn>ln2+ln32+...+lnn+1n−lnn=lnn+1n>0,∀n
Ta sẽ chứng minh dãy (un) là dãy giảm.
Xét hiệu un+1−un=1n+1−lnn+1n.
Xét hàm số g(x)=x1+x−ln(1+x) với x≥0.
Có g′(x)=−x(x+1)2≤0,∀x≥0 nên g(x) nghịch biến.
Vì g(0)=0 nên g(x)≤0,∀x≥0.
Thay x=1n ta được un+1<un,∀n hay dãy (un) giảm.
Vậy tồn tại limun=α.
Trở lại bài toán, ta có:
1n+1+1n+2+...+12n=u2n−un+ln2.
Vì limu2n=limun=α nên lim(1n+1+1n+2+...+12n)=ln2.
|