|
Ta có: tanA2=sinA2cosA2=2sin2A22sinA2cosA2=1−cosAsinA=1−b2+c2−a22bc2Sbc=2bc−b2−c2+a24S Do đó: tanA2+tanB2+tanC2=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2)4S Giả thiết bài toán tương đương với 9R2=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2), suy ra 9R2≤ab+bc+ca. Áp dụng các công thức S=abc4R=14√(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c): 9R2=9a2b2c2(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)≥9abca+b+c. Do đó: 9abc≥(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay ΔABC đều.
|