|
|
Ta có:
$\tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{2\sin ^2\frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}=\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4S} $
Do đó:
$\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}{4S}$
Giả thiết bài toán tương đương với $9R^2=2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$, suy ra $9R^2\leq ab+bc+ca.$
Áp dụng các công thức $S=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}$:
$9R^2=\frac{9a^2b^2c^2}{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}\geq \frac{9abc}{a+b+c} $.
Do đó: $9abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $\Delta ABC$ đều.
|