|
|
Ta chứng minh BĐT: $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\leq 2\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}},\forall a,b\geq0$ .
Để cho gọn, ta đặt $\sqrt[n]{a}=x,\sqrt[n]{b}=y,\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}}=t $ và giả sử $a\leq b$ thì $x\leq t\leq y$.
BĐT trên tương đương với: $y-t\leq t-x (1) $.
Nếu $a=b$ thì $(1)$ hiển nhiên đúng.
Nếu $a<b$ thì $(1)$ tương đương với:
\[ \frac{y^n-t^n}{y^{n-1}+y^{n-2}t+...+t^{n-1}}\leq \frac{t^n-x^n}{t^{n-1}+t^{n-2}x+...+x^{n-1}} \]
Dễ thấy BĐt trên đúng vì $y^n-t^n=t^n-x^n\geq 0$ và $y>t>x$.
Vậy $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\leq 2\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}},\forall a,b\geq0$ .
Thiết lập 2 BĐt tương t ta có đpcm.
|