|
|
Điều kiện: $xy\geq 0$. Lưu ý rằng $x+y=2$ nên $x,y\geq 0$.
Ta có:
\[4x^2+y^2=5(2x-y)\sqrt{xy}\]
\[ \Leftrightarrow 4x^2-4xy+y^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4xy=0\]
\[ \Leftrightarrow (2x-y)^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4\left( \sqrt{xy} \right)^2=0\]
\[ \Leftrightarrow \left( 2x-\sqrt{xy}-y\right) \left( 2x-4\sqrt{xy}-y\right) =0\]
\[ \Leftrightarrow \left( 2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right) \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x} -(\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{y}\right) =0\]
Vì $x,y\geq 0$ và $x+y=2$ nên ta suy ra $x=y$ hoặc $2x=(5+2\sqrt{6})y$.
Nếu $x=y$ thì ta được nghiệm $(1,1)$.
Nếu $2x=(5+2\sqrt{6})y$ thì ta được nghiệm $\left( \frac{22+8\sqrt{6}}{25},\frac{28-8\sqrt{6}}{25}\right)$.
Thử lại, đây là $2$ nghiệm của hệ ban đầu.
|