Bai này nữa

Question

Chứng minh rằng :
a) $e^x -1 < \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt < \sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})}, \forall x > 0$
b) $1 - \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2e^{-x}} < 1 -\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx.$

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) Ta có
$\begin{cases}0<x^2<1 \\ 0<e^{-x}<1 \end{cases}\Rightarrow 0<x^2e^{-x}<1$
Bạn tự chứng minh bài toán phụ sau coi như bài tập nhé.
Với $0<t<1$ thì $1-t<\frac{1}{1+t}<1-\frac{t}{2}$.
Áp dụng cho $t=x^2e^{-x}$ ta được
$\int\limits_{0}^{1} \left ( 1-x^2e^{-x} \right )dx \le \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2e^{-x}}< \int\limits_{0}^{1} \left ( 1-\frac{1}{2}x^2e^{-x} \right )dx$
$\Leftrightarrow 1 - \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2e^{-x}} < 1 -\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1}x^2e^{-x}dx.$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 10-10-12 10:34 PM

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
i) $\left ( \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt \right )^2=\left ( \int\limits_{0}^{x}e^{t/2}\sqrt{e^{t} + e^{-2t}}dt \right )^2\le \int\limits_{0}^{x}e^{t}dt. \int\limits_{0}^{x}\left (e^{t} + e^{-2t} \right )dt=(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})$
Vậy $ \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt < \sqrt{(e^x-1)(e^x-\frac{1}{2})}$
ii) $ \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt> \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t}}dt=\int\limits_{0}^{x}e^{t}dt=e^x-1$
Vậy $ \int\limits_{0}^{x}\sqrt{e^{2t} + e^{-t}}dt >e^x-1$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 10-10-12 10:28 PM

Hỏi	10-10-12 06:26 PM
Lượt xem	2069
Hoạt động	10-10-12 10:34 PM

Bai này nữa

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bai này nữa

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan