a)
Với n=1 ta có : I_1=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dx}{x+1}=2\ln |x+1|\left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.=\ln 2<1 \Rightarrow 0\leqslant I_n\leqslant 1
Với n>1 \Rightarrow x>1 \Rightarrow 0< \frac{x^{n-1}+1}{x^n+1}<1
\Rightarrow 0<I_n<1 =\int\limits_{n-1}^{n}dx=x \left|\begin{array}{l}n\\n-1\end{array}\right. .
Vậy dãy
{I_n} bị chặn
b)
Đổi biến số : x=t-1 \Rightarrow dx=dt
Đổi cận : \left\{ \begin{array}{l} x=n \Rightarrow t=n+1\\ x=n-1 \Rightarrow t=n \end{array} \right.
x \in [n-1;n] \Rightarrow t\in [n;n+1]
I_n =\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(t-1)^{n-1}+1}{(t-1)^n+1}dt=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1}dx mà I_{n+1}=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1} dx
Nên muốn chứng minh I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}, ta cần chứng minh \forall n \in \mathbb{N}
\forall x \in [n;n+1]: \frac{x^n+1}{x^{n+1}}<\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1} (1)
Thật vậy : (1) \Leftrightarrow (x^n+1)[(x-1)^n+1]-(x^{n+1}+1)[(x-1)^{n-1}+1]<0
\Leftrightarrow -x^n(x-1)^{n-1}-x^n(x-1)+(x-1)^{n-1}(x-2)<0
\Leftrightarrow -(x-1)^{n-1}(x^n-x+2)-(x-1)x^n<0 (2)
(2) đương nhiên đúng với \forall x \in [n;n+1].Do đó : (1) đúng
Từ đó suy ra \int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1}<\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1}
Hay :
I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}