làm giúp em bài này với

Question

Với mỗi số nguyên dương đặt :

$I_n=\int\limits_{n-1}^{n}\frac{(x^{n-1}+1)dx}{x^n+1}$

a)Chứng minh rằng : dãy

$(I_n)(n=1,2,....)$ bị chặn

b)Chứng minh rằng :

$I_{n+1}\leqslant I_n;\forall x\in N$

score 4 · Answer 1

a)
Với

$n=1$ ta có :

$I_1=\int\limits_{0}^{1}\frac{2dx}{x+1}=2\ln |x+1|\left|\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right.=\ln 2<1 \Rightarrow 0\leqslant I_n\leqslant 1$

Với

$n>1 \Rightarrow x>1 \Rightarrow 0< \frac{x^{n-1}+1}{x^n+1}<1$

$\Rightarrow 0<I_n<1 =\int\limits_{n-1}^{n}dx=x \left|\begin{array}{l}n\\n-1\end{array}\right.$ .

Vậy dãy

${I_n}$ bị chặn

b)

Đổi biến số :

$x=t-1 \Rightarrow dx=dt$

Đổi cận :

$\left\{ \begin{array}{l} x=n \Rightarrow t=n+1\\ x=n-1 \Rightarrow t=n \end{array} \right.$

$x \in [n-1;n] \Rightarrow t\in [n;n+1]$

$I_n =\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(t-1)^{n-1}+1}{(t-1)^n+1}dt=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1}dx$ mà

$I_{n+1}=\int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1} dx$

Nên muốn chứng minh

$I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}$ , ta cần chứng minh

$\forall n \in \mathbb{N}$

$\forall x \in [n;n+1]: \frac{x^n+1}{x^{n+1}}<\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1} (1)$

Thật vậy :

$(1) \Leftrightarrow (x^n+1)[(x-1)^n+1]-(x^{n+1}+1)[(x-1)^{n-1}+1]<0$

$\Leftrightarrow -x^n(x-1)^{n-1}-x^n(x-1)+(x-1)^{n-1}(x-2)<0$

$\Leftrightarrow -(x-1)^{n-1}(x^n-x+2)-(x-1)x^n<0 (2)$

$(2)$ đương nhiên đúng với

$\forall x \in [n;n+1]$ .Do đó :

$(1)$ đúng

Từ đó suy ra

$\int\limits_{n}^{n+1}\frac{x^n+1}{x^{n+1}+1}<\int\limits_{n}^{n+1}\frac{(x-1)^{n-1}+1}{(x-1)^n+1}$

Hay :

$I_{n+1}<I_n;\forall x \in \mathbb{N}$

1 Đáp án