|
|
Đặt
$h(x,m):=\frac{1}{3}x^3+mx^2-2x-2m-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(x^3-6x-1)+ m(x^2-2)$
Thứ nhất
với $m\in\left(0, \frac{5}{6} \right)$ ta thấy rằng
$h\left(0,m\right) =-\frac{1}{3}-2m<0$
$h\left(2,m\right) = -\frac{5}{3}+2m<0$
Ta có
$h'( x, m) = x^2+2mx-2 = (x+m)^2-(m^2+2)$
$h' =0 \Rightarrow x=-m\pm \sqrt{m^2+2}$
Ta chọn $x=-m + \sqrt{m^2+2}$ vì $x \in(0,2)$
Lập bảng biến thiên cho $h(x)$ ta suy ra
$h(x) \le \max( h(0), h(2) ) = \max \left( -\frac{1}{3}-2m, -\frac{5}{3}+2m \right) <0$
Thứ hai:
Ta cần tìm $m$ từ $I(m)=\int_0^2 \left| h(x,m) \right| dx=4$
$I(m)=\int_0^2 \left| h(x,m) \right| dx = \int_0^2 -h(x,m)dx $
$= \left[-\frac{1}{12}x^4 - \frac{m}{3} x^3 + x^2 + 2xm + \frac{x}{3} \right]_0^2$
$= \frac{10+4m}{3} $
$I(m)=4 \Rightarrow \frac{10+4m}{3}=4 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$.
|