Bài này nữa

Question

Chứng minh bất đẳng thức:
a) Nếu $a+b=1$ thì $a^{2}+b^{2} \geq \frac{1}{2}, a^{4}+b^{4}\geq \frac{1}{8} $
b) $2<\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3; (a,b,c,d>0) $

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b)
i) $\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b} > \frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{c+b+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b+c}=\frac{2(a+b+c+d)}{d+a+b+c}=2$
ii) $\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b} < \frac{a+b+d}{a+b+c+d}+\frac{b+c+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d+b}{c+b+d+a}+\frac{d+a+c}{d+a+b+c}=\frac{3(a+b+c+d)}{d+a+b+c}=3$
Ở BĐt ii) đã sử dụng BĐT phụ sau
Nếu $\frac{x}{y}<1 \Rightarrow \frac{x}{y}<\frac{x+z}{y+z} \forall x,y,z >0$

Bài này thì chuẩn không cần chỉnh :D – hatcattrongdoi 08-10-12 06:12 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-10-12 05:47 PM

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

a)
$(a-b)^2 \ge 0 \forall a, b \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge 2ab \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2} \geq \frac{1}{2}$
Áp dụng BĐT dạng trên thì
$ a^{4}+b^{4}\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2 \ge \frac{1}{8}(a+b)^2= \frac{1}{8}$
Đẳng thức trong cả hai BĐt xảy ra đều khi $a=b=\frac{1}{2}$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 08-10-12 05:47 PM

Hỏi	08-10-12 05:10 PM
Lượt xem	1868
Hoạt động	08-10-12 05:46 PM

Bài này nữa

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài này nữa

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan