Bất đẳng thức

Question

Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.
Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$.

score 3 · Answer 1

Kí hiệu
$A=\sum\frac{x^2}{x+y+y^3z}=\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}$
Ta có
$A=\sum\frac{x^2}{x+y+y^3z}=\sum\frac{x^3}{x^2+xy+xy^3z}=\sum\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$
Xét
$B=\sum\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$
thì
$A-B=\sum\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=\sum (x-y)=0 \implies A=B.$
Như vậy
$2A=A+B=\sum\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=\sum(x+y)\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge \frac{1}{3}\sum(x+y)=\frac{2}{3}(x+y+z) \ge \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=2$
Vậy $A \ge 1$ (đpcm)
Ở đây đã dùng BĐT $\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge \frac{1}{3}$ . Bạn tự chứng minh coi như bài tập nhé.

Hỏi	07-10-12 04:40 PM
Lượt xem	1146
Hoạt động	07-10-12 06:51 PM

Bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan