|
|
Đặt $\begin{cases}a = x+\frac{1}{x} \implies x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=a^2-2 \\ b = y+\frac{1}{y} \implies y^{2}+\frac{1}{y^{2}}=b^2-2 \end{cases}$
HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}a+b= 4\\ a^2+b^2=m+4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a= 4-b\\ (4-b)^2+b^2=m+4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a= 4-b\\ 2b^2-8b-m+12=0 (*)\end{cases}$
Nhận thấy $|a|, |b| \ge 2$ nên để hệ có nghiệm thực thì $(*)$ phải có nghiệm có trị tuyệt đối không nhỏ hơn $2.$
Nếu $m=4$ thì hiển nhiên thấy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$.
Nếu $m>4$ thì $(*)$ có $\Delta' = 2m-8 >0$ nên có nghiệm dương $b^+=2+\frac{\sqrt{2(m-4)}}{2} >0$. Như vậy trong trường hợp này thì thì $(*)$ luôn có nghiệm $b$ thỏa mãn.
Lúc này $a^-=4-b^+=2-\frac{\sqrt{2(m-4)}}{2} $ .
Ta cần có $a^- \le -2\Leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2(m-4)}}{2} \le -2 \Leftrightarrow m \ge 36.$
Làm tương tự cho trường hợp còn lại ta kết luận, $m=4$ hoặc $m \ge 36$.
|