|
|
Ta có: $ f'(x) = {x^2} - (\sin a + c{\rm{os}}a)x + \frac{{3\sin 2a}}{4} $
Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow f'(x) = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow (sina+cosa)^2-3 sin2a>0\Leftrightarrow 1>2sin 2a\geq -2$
Với điều kiện trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt $ {x_1},{x_2} $ , và hàm đạt cực trị tại $ {x_1},{x_2} $ .
Theo viet ta có: $ {x_1} + {x_2} = \sin a + \cos a ; {x_1}.{x_2} = \frac{{3{\rm{sin}}2a}}{4} $
Điều kiện $ {x_1} + {x_2} = x_1^2 + x_2^2 $ $ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} $
$ \Leftrightarrow \sin a + \cos a = {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} - \frac{{{\rm{3sin}}2a}}{2}(2) $
Đặt $ t = \sin a + \cos a = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) $ $ \Rightarrow \sin 2a = {t^2} - 1 $ , do đk nên $ {t^2} - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| t \right| \le \sqrt {\frac{3}{2}} $
Khi đó (2) trở thành: $ t = {t^2} - \frac{3}{2}({t^2} - 1) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 3
\end{array} \right. $
So sánh điều kiện suy ra chỉ có t = 1 thỏa mãn, nên
$ c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{4} - a} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = k2\pi \\
a = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\,\,(k \in Z) $
|