Đẳng thức lượng giác

Question

Giả sử

$a,b$ và

$x$ là các số thực sao cho

$ab>0$ and

$a+b\neq0$ . Nếu

$\frac{\sin^4x}{a}+\frac{\cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b}$ , Tính

$\frac{\sin^6x}{a^3}+\frac{\cos^6x}{b^3}$ theo

$a$ và

$b$ .

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Ta có

$\frac{1}{a+b}= \frac{\sin^{4}x}{a}+\frac{\cos^{4}x}{b} \ge \frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$ , do dấu bằng

$\frac{\sin^{4}x}{a}+\frac{\cos^{4}x}{b} \ge \frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{a+b}$ tương đương với

$(b\sin^2x-a\cos^2x)\ge0$ .
Ta suy ra

$(b\sin^2x-a\cos^2x)=0.$ hay

$\frac{\sin^2x}{a}=\frac{\cos^2x}{b}\implies\frac{\sin^2x}{a}=\frac{1-\sin^2x}{b} \implies(a+b)(\sin^2x)=a \implies \sin^2x=\frac{a}{a+b}$ .
do đó

$\frac{\sin^2x}{a}=\frac{1}{a+b}$ , và

$\frac{\cos^2x}{b}=\frac{1}{a+b}$ .
tóm lại,

$\frac{\sin^{6}x}{a^{3}}+\frac{\cos^{6}x}{b^{3}}= (\frac{\sin^2x}{a})^3+(\frac{\cos^2x}{b})^3=\boxed{\frac{2}{(a+b)^3}}$

Mình đã nhìn thấy bài này khi còn ở phổ thông. Chỉ cần điều kiện tích ab >0 là đủ. Có lẽ đề bài thiếu đoạn này. – Trần Nhật Tân 05-10-12 11:55 PM

Bất đẳng thức kia chỉ đúng khi a,b>0 chứ nhỉ? – dat.to.hung.vuong94 05-10-12 11:49 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 05-10-12 11:39 PM

Hỏi	05-10-12 11:29 PM
Lượt xem	2007
Hoạt động	06-10-12 12:09 AM

Đẳng thức lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Đẳng thức lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan