Xét hàm: f(x)=23√x3,x≥1.
Theo định lý Lagrange trên đoạn [n,n+1] tồn tại số c∈(n,n+1) sao cho:
f(n+1)−f(n)=f′(c)=√c
Suy ra: √n<f(n+1)−f(n)<√n+1,∀n≥1 .
Từ đó suy ra:
n∑k=1√k<n∑k=1(f(k+1)−f(k))=f(n+1)−f(1)=23√(n+1)3−23
⇒1√n3n∑k=1√k<23√(n+1n)3−23√n3
Lại có:
n∑k=1√k=1+n∑k=2√k>1+n−1∑k=1(f(k+1)−f(k))=1+f(n)−f(1)>23√n3
⇒1√n3n∑k=1√k>23