b.
Ta chứng minh: với x>0 và với mọi số nguyên dương n, ta đều có: ex>1+x+x22!+x33!+...+xnn!
Với số nguyên dương n, đặt:
fn(x)=ex−(1+x+x22!+x33!+...+xnn!)
Ta cần chứng minh fn(x)>0 khi x>0
Theo phép quy nạp toán học:
Với n=1, ta có :
f1(x)=ex−1−x
Vì \displaystyle{{f_1}^'(x) = {e^x} - 1 \ge 0} khi x≥0
Vậy f1(x) đồng biến trên [0;+∞) mà f1(0)=0 suy ra f1(x)>0 khi x>0
Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k, tức là :
fk(x)=ex−(1+x+x22!+x33!+...+xkk!)>0
Khi x>0. Với hàm:
fk+1(x)=ex−(1+x+x22!+x33!+...+xkk!+xk+1(k+1)!), ta có
\displaystyle{{f^'}_{k + 1}(x) = {e^x} - \left( {1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^{k - 1}}}}{{\left( {k - 1} \right)!}} + \frac{{{x^k}}}{{k!}}} \right) = {f_k}(x)}
Vì \displaystyle{{f^'}_{k + 1}(x) = f(x) \ge 0} khi x≥0, nên fk+1(x) đồng biến trên [0;+∞) mà fk+1(0)=0 nên fk+1(x)>0 khi x>0, tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1
Theo nguyên lí quy nạp : với x>0 và với mọi số nguyên dương n, ta đều có:
fn(x)=ex−(1+x+x22!+x33!+...+xnn!)>0
Hay ex>1+x+x22!+x33!+...+xnn!
Với x=1,n=2010 ta có đpcm.