|
|
PT $\Leftrightarrow \left ( \frac{x^3+1}{3} \right )^3=3x-1 (*)$
Đặt $\frac{x^3+1}{3}=y\Rightarrow x^3=3y-1$
Và từ $(*)$ ta được hệ
$\begin{cases}x^3=3y-1 \\ y^3=3x-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^3-y^3+3(x-y)= 0\\ y^3=3x-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x-y)(x^2+y^2-xy+3)= 0\\ y^3=3x-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=y \\ x^3=3x-1 \end{cases}$
Chú ý rằng $x^2+y^2-xy+3 =(x-y/2)^2+3y^2/4+3 >0 \forall x,y$
Để giải PT $x^3-3x=-1 (*)$
Xét $|x|>2\Rightarrow |x|(x^2-3)>|x|>1\Rightarrow (*)$ vô nghiệm.
Xét $|x|\le 2$ , đặt $x=2\cos t,t\in[0,\pi]$
Khi đó: $(*) \Leftrightarrow 8\cos^3t-6\cos t=-1 \Leftrightarrow \cos3t=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow t\in\{\frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9};\frac{8\pi}{9}\}$ , vì $t\in[0,\pi]$.
Suy ra: $ x\in\{\cos\frac{2\pi}{9};\cos\frac{4\pi}{9};\cos\frac{8\pi}{9}\} $
|