Bài bất đẳng thức

Question

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\geq 3$.
Chứng minh : $ \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\geq 3$.

score 7 · Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta được
$\displaystyle{\frac{3a_1a_2a_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{a_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{a_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{a_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{a_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{a_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{a_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3b_1b_2b_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{b_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{b_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{b_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{b_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{b_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{b_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
$\displaystyle{\frac{3c_1c_2c_3}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} }=3.\frac{c_1}{\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3+c_1^3}}.\frac{c_2}{\sqrt[3]{a_2^3+b_2^3+c_2^3}}.\frac{c_3}{\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3+c_3^3}} \le\frac{c_1^3}{a_1^3+b_1^3+c_1^3} +\frac{c_2^3}{a_2^3+b_2^3+c_2^3}+\frac{c_3^3}{a_3^3+b_3^3+c_3^3}}$
Cộng theo từng vế của ba BĐT trên ta được
$\displaystyle{\frac{3(a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)}{\sqrt[3]{(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3)} } \le 3}$
Từ đây suy ra BĐT Holder được chứng minh.

Đây là cách chứng minh của BĐT Holder nói trên. Các bạn thấy có ích thì ấn mũi tên màu xanh để bình chọn nhé. Thanks!

score 10 · Answer 2

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Để chứng minh bài toán này bạn cần biết BĐT Holder dạng
$(a_1^3+b_1^3+c_1^3)(a_2^3+b_2^3+c_2^3)(a_3^3+b_3^3+c_3^3) \ge (a_1a_2a_3+b_1b_2b_3+c_1c_2c_3)^3$
với $a_i, b_i, c_i >0 i=1,2,3$.
Áp dụng BĐT này
$\left( \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\right)^2(xy+yz+xz)\geq(x+y+z)^3$
Việc còn lại là đi chứng minh $(x+y+z)^3\geq9(xy+xz+yz)$.
Nhưng điều này là hiển nhiên thấy vì $x+y+z\geq3$ và $(x+y+z)^2\geq3(xy+xz+yz)$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Bạn nguyenphuc423 đọc xong phần chứng minh trên nếu thấy chính xác thì chấp nhận hộ mình nhé. Thanks! :) – Trần Nhật Tân 04-10-12 07:12 PM

Biết thêm 1 BĐT mới – hatcattrongdoi 04-10-12 03:08 PM

Hóa ra là dùng BĐT Holder,hic ,lần đầu em nghe thấy – nguyenphuc423 04-10-12 03:05 PM

Nếu bạn thấy chính xác và có ích thì hãy xác nhận và vote up nhé nguyenphuc423 :) Thanks! – Trần Nhật Tân 04-10-12 01:30 AM

Hỏi	03-10-12 06:01 PM
Lượt xem	1635
Hoạt động	04-10-12 07:10 PM

Bài bất đẳng thức

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài bất đẳng thức

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan