đố các mem thêm bài ni nữa.hehe

Question

Cho 3 số thực dương

$x,y,z$ . thỏa mãn :

$xyz=1$ .
CMR:

$\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

score 7 · Answer 1

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:24 AM

Thêm 1 kỹ thuật nữa nhé :) – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:24 AM

score 7 · Answer 2

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Ah ha! Mình có cách đơn giản hơn nhé
Kí hiệu

$\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2}=\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}$

$cyc$ nghĩa là xoay vòng.
Dễ thấy

$\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2} \le \sum_{cyc}\frac{x}{2x+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}$
Việc còn lại là chứng minh

$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1} \ge 1$
Do

$xyz=1$ nên tồn tại

$a, b, c$ sao cho

$x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$ , như vậy

$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}=\sum_{cyc}\frac{b}{2a+b}=\sum_{cyc}\frac{b^2}{2ab+b^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

Thanks bạn khangnguyenthanh đã vote nhé! Nhưng mình và bạn vote cho nhau thì không được tăng điểm :) – Trần Nhật Tân 02-10-12 10:32 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:20 AM

score 7 · Answer 3

Mình chưa nghĩ ra cách nào ngắn hơn, bạn tham khảo nhé
Đặt

$x+y+z=u$ và

$xy+yz+zx=v$ . BĐT đã cho tương đương với

$4u^2+2v^2-8u-9v-2uv+15 \geq 0$
theo BĐT Cô-si,

$u^2 \geq 3v \geq 9$ . Ta xét

$3$ trường hợp

$\text {Trường hợp 1:} \quad v \geq 6$
Ta có

$\text{VT}=(u-v)^2+(u-3)(3u+1)+(v-3)(v-6) \geq 0$ và chúng ta xong.

$\text{Trường hợp 2:} \quad 4,5 \leq v \leq 6$
Ta có

$\text{LHS}=f(u) \geq f(3)$ vì

$f'(u)=8u-2v-8 \geq 8\cdot 3 - 2 \cdot 6 -8 > 0$ và

$f(3)=(v-3)(2v-9) \geq 0$ theo giả thiết.

$\text{Trường hợp 3:} \quad 3 \leq v \leq 4,5$
Ta có

$\text{LHS}=(u-v)^2+3u^2+v^2-8u-9v+15 \geq 3u^2+v^2-8u-9v+15$
Đặt

$g(v)=3u^2+v^2-8u-9v+15$ . suy ra

$g'(v)=2v-9 \leq 0$ nên

$g(v) \geq g\left(\frac{u^2}{3}\right)$

$g\left(\frac{u^2}{3}\right) = \frac{1}{9}(u-3)(u^3+3u^2+9u-45) \geq 0$ vì

$u \geq 3$ .

Tóm lại ta có ĐPCM.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Hỏi	01-10-12 09:52 PM
Lượt xem	3048
Hoạt động	02-10-12 01:23 AM

đố các mem thêm bài ni nữa.hehe

3 Đáp án

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

đố các mem thêm bài ni nữa.hehe

3 Đáp án

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan