|
|
Ah ha! Mình có cách đơn giản hơn nhé
Kí hiệu $\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2}=\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}$
$cyc$ nghĩa là xoay vòng.
Dễ thấy $\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2} \le \sum_{cyc}\frac{x}{2x+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}$
Việc còn lại là chứng minh
$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1} \ge 1$
Do $xyz=1$ nên tồn tại $a, b, c$ sao cho $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$, như vậy
$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}=\sum_{cyc}\frac{b}{2a+b}=\sum_{cyc}\frac{b^2}{2ab+b^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$
|