Ta có:
a3b2+3=a3b2+ab+bc+ca=a3(a+b)(b+c)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
a3(a+b)(b+c)+a+b8+b+c8≥3a4
Hay a3b2+3≥5a8−b4−c8
Tương tự: b3c2+3≥5b8−c4−a8
c3a2+3≥5c8−a4−b8
Từ đó suy ra:
a3b2+3+b3c2+3+c3a2+3≥14(a+b+c)≥14√3(ab+bc+ca)=34
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=c=1.