|
|
1) Giả sử đã dựng được các điểm $M, N, P$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi $M_1, M_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB, AC$. Khi đó
$MP+MN+PN=PM_1+ NM_2+PN \ge M_1M_2$
(đường thẳng thì luôn ngắn hơn đường gấp khúc).
Mặt khác $\triangle AM_1M_2$ cân tại $A$ có $\widehat{M_1AM_2}=2\widehat{BAC}$ không đổi. Như vậy trong các tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi, cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh bên nhỏ nhất. Lúc đó ta cần có $AM_1=AM$ nhỏ nhất, tức là $AM$ là đường cao của $\triangle ABC$.
Tương tự thì ta có $M,N,P$ là chân các đường cao kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$.
|