|
|
Gọi d là đường trung trực của đoạn AC.
Xét phép đối xứng trục (d)
S(d):D→D′
Ta có: AD=CD′,CD=AD′ và ΔADC=ΔAD′C
Suy ra SABCD=SABCD′=SBAD′+SBCD′.
⇒SABCD=12AB.AD′.sin^BAD′+12BC.CD′.sin^BCD′≤12(AB.AD′+BC.CD′)
=12(AB.CD+BC.AD)
Dấu "=" xảy ra khi ta có:
sin^BAD′=sin^BCD′=1⇒^BAD′=^BCD′=90∘
⇒ABCD′ nội tiếp trong đường tròn đường kính BD′.
Suy ra ^ABC+^ADC=180∘
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD′.
Suy ra ^BDD′=90∘, tức là BD⊥DD′⇒AC⊥BD do (AC∥DD′)
Đảo lại: Nếu ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với hai đường chéo AC⊥BD, vì ^BDD′=90∘ nên dễ thấy BD′ là một đường kính của (O). Từ đó suy ra ^D′AB=^D′CB=90∘.
Nên dấu
"=" xảy ra. Vậy SABCD≤12(AB.CD+BC.AD)
Dấu
"=" xảy ra ⇔ABCD nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
|