|
|
Trước hết mình nêu ra một vài bài toán nhỏ để tìm ra bài toán cần giải.
1. Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đồng quy tại điểm G, gọi là trong tâm của tứ diện.
Phần này chứng minh đơn giản, trong sách giáo khoa hình học 11 đã đề cập rất chi tiết.
2. Tứ diện có tính chất trên gọi là tứ diện gần đều, vì thế đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đồng thời là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh ấy.
Mình chứng minh phần này với hai cạnh AB, CD. Giả sử M, N là trung điểm của AB, CD. Do $\triangle BCD=\triangle ACD \Rightarrow BN=AN\Rightarrow \triangle ABN$ cân tại N $\Rightarrow NM \perp AB$
Tương tự $NM \perp CD$.
3.G chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Thật vậy, xét tam giác GCD có GN đồng thời là đường cao và trung tuyến, suy ra tam gaics GCD cân tại G $\Rightarrow GC=GD$ .
Tương tự thì $GA=GB=GC=GD$ .
4. Ta tính GD để có bán kính R của mặt cầu này.
$32GD^2=32GN^2+32ND^2=8MN^2+8CD^2=4CM^2+4MD^2-2CD^2+8CD^2$
$=2CA^2+2CB^2-AB^2+2DB^2+2DA^2-AB^2+6CD^2=4(a^2+b^2+c^2)$
Từ đó $R^2=GD^2=\frac{1}{8}(a^2+b^2+c^2) \Rightarrow S = 4\pi R^2=\frac{1}{2}\pi (a^2+b^2+c^2)$
|