|
|
Kí hiệu
$\prod \cos A = \cos A.\cos B.\cos C$,
$\prod \cos(B-C)= \cos(A-B).\cos(B-C). \cos(C-A)$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$\Leftrightarrow 8\prod \cos A \le \prod \cos(B-C)$
$\Leftrightarrow 8\prod (2\cos A\sin (B+C)) \le \prod 2\sin (B+C)\cos(B-C)$
$\Leftrightarrow 8\prod (2\cos A\sin A) \le \prod (\sin 2B + \sin 2C)$
$\Leftrightarrow 8\prod \sin 2A \le \prod (\sin 2B + \sin 2C)$
Do $A, B, C$ là các góc nhọn nên $\sin 2A, \sin 2B, \sin 2C >0$ do đó
$\prod (\sin 2B + \sin 2C) \ge \prod 2\sqrt{\sin 2B\sin 2C}= 8\prod \sin 2A $ (đpcm).
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
|