|
|
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau
Cho $a, b, c, x, y, z$ là các số thực dương thì ta có
$abc+xyz \le \sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} (*)$
Thật vậy,
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta được
$\displaystyle{\frac{3abc}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} }=3.\frac{a}{\sqrt[3]{a^3+x^3}}.\frac{b}{\sqrt[3]{b^3+y^3}}.\frac{c}{\sqrt[3]{c^3+z^3}} \le\frac{a^3}{a^3+x^3} +\frac{b^3}{b^3+y^3}+\frac{c^3}{c^3+z^3}}$
$\displaystyle{\frac{3xyz}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)}
}=3.\frac{x}{\sqrt[3]{a^3+x^3}}.\frac{y}{\sqrt[3]{b^3+y^3}}.\frac{z}{\sqrt[3]{c^3+z^3}}
\le\frac{x^3}{a^3+x^3} +\frac{y^3}{b^3+y^3}+\frac{z^3}{c^3+z^3}}$
Cộng theo từng vế của hai BDDT trên ta được
$\displaystyle{\frac{3(abc+xyz)}{\sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)}
} \le 3}$
Từ đây suy ra BĐT $(*)$ được chứng minh.
Đặt $a=|\sin m|, x=|\cos m|,b=|\sin n|, y=|\cos n|,c=|\sin p|, z=|\cos p|$.
Ta thấy rằng $0 \le a,b,c,x,y,z \le 1$ nên $0 \le a^3+x^3,b^3+y^3,z^3+c^3 \le 1$.
Chẳng hạn $0 \le a^3+x^3 \le a^2+x^2 =1$.
Sử dụng điều trên và áp dụng BĐT $(*)$ ta có
$\sin m \sin n \sin p + \cos m \cos n \cos p \le abc+xyz \le \sqrt[3]{(a^3+x^3)(b^3+y^3)(z^3+c^3)} \le 1$. ĐPCM.
|