Biện luận phương trình

Question

Chứng minh rằng $x^4 - k^2x^2 + 2kx - 1 = 0$ (k là tham số) có 4 nghiệm phân biệt

score 7 · Answer 1

Chúng ta đang bàn đến việc các nghiệm thực của PT.
Nhìn vào công thức $4$ nghiệm trên thì trước hết cần có $k^2-4 \ge 0 \Leftrightarrow |k| \ge 2.$
Để ý rằng muốn có $4$ nghiệm phân biệt thì các nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ phải đôi một khác nhau.
Ta có :
Hiển nhiên $x_1 \ne x_2$.
Giả sử $x_1 = x_3\Leftrightarrow -k+\sqrt{k^2+4}= k+\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2+4}-\sqrt{k^2-4} = 2k $
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ge 0 \\ -\sqrt{k^4-16}=k^2\end{cases} \implies k^2+\sqrt{k^4-16}=0$, đây là điều không thể xảy ra. Vậy $x_1 \ne x_3$.
Giả sử $x_1 = x_4\Leftrightarrow -k+\sqrt{k^2+4}= k-\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2+4}+\sqrt{k^2-4} = 2k $
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ge 0 \\ \sqrt{k^4-16}=k^2\end{cases} \implies k^4-16=k^4$, đây là điều không thể xảy ra. Vậy $x_1 \ne x_4$.
Tương tự ta cũng có : $x_2 \ne x_3, x_2 \ne x_4.$
Cuối cùng, giả sử $x_3 = x_4\Leftrightarrow k+\sqrt{k^2-4}= k-\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2-4} = 0
\Leftrightarrow k=\pm 2$. Suy ra $x_3 \ne x_4 \Leftrightarrow k \ne \pm 2$.
Tổng hợp các kết quả ta có $|k|>2.$

lời giải của anh đúng đấy, em bình chọn cho anh rùi đấy
Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé!

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

PT
$\Leftrightarrow x^4-(k^2x^2-2kx+1)=0$
$\Leftrightarrow x^4-(kx-1)^2=0$
$\Leftrightarrow (x^2+kx-1)(x^2-kx+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x^2+kx-1=0\\x^2-kx+1=0\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2}\left ( -k+\sqrt{k^2+4}\right )\\x_2=\frac{1}{2}\left ( -k-\sqrt{k^2+4}\right )\\x_3=\frac{1}{2}\left ( k+\sqrt{k^2-4}\right )\\x_4=\frac{1}{2}\left ( k-\sqrt{k^2-4}\right )\end{matrix}} \right.$
Từ đây nhận thấy với $|k| >2$ và thì PT đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 24-09-12 01:24 AM

uh đúng bài này có 4 nghiệm – linhma06 23-09-12 11:37 PM

viet130480 · Answer 3 · 9/23/2012 11:11:56 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Phương trình bậc $n$ đương nhiên là có $n $ nghiệm ! Vấn đề là nghiệm thực hay nghiêm ảo mà thôi !
Với đề bài này $\Leftrightarrow (x^2-kx+1)(x^2+kx-1)=0$
Từ đó $\Rightarrow $nếu $k^2-4$ lớn hơn $0$ thì PT có $4$ nghiệm thực phân biệtCác trường hợp còn lại bạn sử lí nhé !!!

Trả lời 23-09-12 11:11 PM

viet130480
1

414K 186K

giải chi tiết đi anh – phong8 23-09-12 11:19 PM

Hỏi	23-09-12 10:27 PM
Lượt xem	2944
Hoạt động	30-09-12 05:51 PM

Biện luận phương trình

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Biện luận phương trình

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan