|
|
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau, $\sin x < x , \forall x>0.$
Thật vậy, xét hàm số $f(x)=\sin x - x$ thì $f'(x) = \cos x -1 < 0 , \forall x>0.$ tức là hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0, + \infty).$
Từ đó với $x>0 \implies f(x) < f(0)=0 \implies \sin x - x < 0 \implies \sin x < x$ (đpcm).
Bây giờ áp dụng BĐT trên cho các góc $A, B, C >0$ thì ta có
$\begin{cases}\sin A < A \\ \sin B < B\\\sin C < C \end{cases} \implies \sin A+\sin B+\sin C <A+B+C=\pi$.
|