|
|
Ta có :
$y'=f'(x)= 2(m-1)\cos 2x + (4m+3)$
Đặt $t = \cos 2x \in [-1,1].$ thì $y'=g(t)=2(m-1)t+4m+3$
+ Nếu $m=1 \Leftrightarrow g(t)=7 > 0 \implies y' >0 \implies f $ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+ Nếu $m>1 \Leftrightarrow m-1>0 \implies g(t) $ đồng biến trên $ [-1,1].$
Do đó $\max_{ [-1,1]}g(t)=g(1)=6m+1$.
Để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $g(t)$ phải đồng biến trên $[-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(1)=6m+1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{1}{6}$.
Kết hợp với điều kiện $m>1$ thì ta được $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $m>1$.
+ Nếu $m<1 \Leftrightarrow m-1<0 \implies g(t) $ nghịch biến trên $ [-1,1].$
Do đó $\max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5$.
Để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $g(t)$ phải đồng biến trên $[-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{5}{2}$.
Kết hợp với điều kiện $m<1$ thì ta được $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $1>m \ge -\frac{5}{2}$.
Kết luận: $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m \ge -\frac{5}{2}$.
|