|
|
Ta có :
y′=f′(x)=2(m−1)cos2x+(4m+3)
Đặt t=cos2x∈[−1,1]. thì y′=g(t)=2(m−1)t+4m+3
+ Nếu m=1⇔g(t)=7>0⟹y′>0⟹f đồng biến trên R.
+ Nếu m>1⇔m−1>0⟹g(t) đồng biến trên [−1,1].
Do đó max.
Để f(x) đồng biến trên \mathbb{R} thì g(t) phải đồng biến trên [-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(1)=6m+1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{1}{6}.
Kết hợp với điều kiện m>1 thì ta được f(x) đồng biến trên \mathbb{R} nếu m>1.
+ Nếu m<1 \Leftrightarrow m-1<0 \implies g(t) nghịch biến trên [-1,1].
Do đó \max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5.
Để f(x) đồng biến trên \mathbb{R} thì g(t) phải đồng biến trên [-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{5}{2}.
Kết hợp với điều kiện m<1 thì ta được f(x) đồng biến trên \mathbb{R} nếu 1>m \ge -\frac{5}{2}.
Kết luận: f(x) đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi m \ge -\frac{5}{2}.
|