Tìm m

Question

Tìm

$m$ để hàm số:

$f(x)= (m-1)\sin 2x + (4m+3)x + 5$ đồng biến trên

$R$

score 4 · Answer 1

Ta có :

$y'=f'(x)= 2(m-1)\cos 2x + (4m+3)$
Đặt

$t = \cos 2x \in [-1,1].$ thì

$y'=g(t)=2(m-1)t+4m+3$
+ Nếu

$m=1 \Leftrightarrow g(t)=7 > 0 \implies y' >0 \implies f$ đồng biến trên

$\mathbb{R}.$
+ Nếu

$m>1 \Leftrightarrow m-1>0 \implies g(t)$ đồng biến trên

$[-1,1].$
Do đó

$\max_{ [-1,1]}g(t)=g(1)=6m+1$ .
Để

$f(x)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ thì

$g(t)$ phải đồng biến trên

$[-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(1)=6m+1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{1}{6}$ .
Kết hợp với điều kiện

$m>1$ thì ta được

$f(x)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ nếu

$m>1$ .
+ Nếu

$m<1 \Leftrightarrow m-1<0 \implies g(t)$ nghịch biến trên

$[-1,1].$
Do đó

$\max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5$ .
Để

$f(x)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ thì

$g(t)$ phải đồng biến trên

$[-1,1]\Leftrightarrow \max_{ [-1,1]}g(t)=g(-1)=2m+5 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge -\frac{5}{2}$ .
Kết hợp với điều kiện

$m<1$ thì ta được

$f(x)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ nếu

$1>m \ge -\frac{5}{2}$ .

Kết luận:

$f(x)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$m \ge -\frac{5}{2}$ .

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé!

1 Đáp án