|
|
Thực chất bài toán này là trường hợp cụ thể của bài toán tổng quát sau đây.
Cho $f$ liên tục trên $[0;\pi ]$. Ta có : $\int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f (\sin x) dx.$
Thật vậy,
Đặt $t = \pi -x \Rightarrow dt = -dx$
$\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi }xf(\sin x)dx = - \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}(\pi - t)f(\sin t)dt = \int\limits_{0 }^{\frac{\pi}{2}}(\pi -x)f(\sin x)dx $
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi}x.f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf(\sin x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}xf(\sin x)dx$
$= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf (\sin x)dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(\pi -x)f(\sin x) dx$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx.$
Do đó,
$ I =\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} =\int\limits_0^\pi x{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}= \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} $
Đặt $\cos x = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}
\sin xdx = - dt \\
x = 0:t = 1 \\
x = \frac{\pi}{2} :t = 0 \\
\end{array} \right.$
$
\Rightarrow I = -\pi \int\limits_1^{0}
{\frac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = \pi\int\limits_{0}^1
{\frac{{dt}}{{(t - 2)(t + 2)}}} = \frac{\pi }{4}\ln \left| {\frac{{t -
2}}{{t + 2}}} \right|\left| \begin{array}
{\text{ }}1 \\
0 \\
\end{array} \right.$$ =\boxed{\displaystyle - \frac{{\pi \ln 3}}{4}}$
|